Взыскание с собственника задолженности за неуплату вознаграждения председателю совета дома

Нет, это не предусмотрено законом.

Обращение в суд является правом, а не обязанностью (ст. 3 ГПК). Аналогично, в статье 1 ГК предусмотрено, что организация своей волей и в своем интересе реализует права. Следовательно, обращаться в суд не требуется. Такая обязанность, по смыслу статьи 307 ГК, может быть установлена только договором управления.